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斐波拉契数列的性质【美高梅开户】

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证明用到辗转相除相减法

定理三

  • \(gcd(f[n+m],f[n])=gcd(f[n],f[m])\)
    证明:\(gcd(f[n+m],
    f[n])=gcd(f[m-1]f[n]+f[m]f[n+1], f[n])\)
    \(=gcd(f[m]f[n+1],
    f[n])=gcd(f[n+1],f[n])*gcd(f[m], f[n])=gcd(f[m],
    f[n])\)
    拆开感觉不怎么对,别人说是这样的

定理四

  • \(gcd(f[n],f[n+m])=f[gcd(n,n+m)]\)
    证明:\(gcd(f[n], f[n+m])=gcd(f[n],
    f[m])\)
    即:\(gcd(f[n],
    f[m+n]\%f[n])=gcd(f[n], f[(m+n)\%n])\)
    这是辗转相除法的形式
    最后肯定有\(gcd(f[n],f[n+m])=f[gcd(n,n+m)]\)

定理二

  • \(f[m+n]=f[m−1]f[n]+f[m]f[n+1]\)
    证明:\(f[m+n] =
    f[m+n-1]+f[m+n-2]=f[m+n-2]+f[m+n-3]+f[m+n-3]+f[m+n-4]\)
    \(=f[m+n-2]+2*f[n+m-3]+f[n+m-4]=3*f[n+m-3]+2*f[n+m-4]=……\)
    找找规律就得到了\(f[m+n]=f[m−1]f[n]+f[m]f[n+1]\)不会正规证明

定理一

  • \(gcd(f[i],f[i+1])=1\)
    证明:\(gcd(f[i], f[i+1]) =
    gcd(f[i+1]-f[i], f[i])=gcd(f[i-1], f[i])\)
    递归下去,所以\(gcd(f[i], f[i+1]) =
    gcd(f[1], f[2]) = 1\)
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